औसत ( Average )

औसत ( Average ) - दो या दो से अधिक सजातीय पदों का ‘औसत’ वह संख्या है , जो दिए गए पदों के योगफल को उन पदों की संख्या से भाग देने पर प्राप्त होती है । इसे ‘मध्यमान’ भी कहा जाता है ।

❆ औसत =

सभी राशियों का योग / राशियों की संख्या

❆ सभी राशियों का योग = औसत × राशियों की संख्या

जैसे - x₁ , x₂ , x₃ , . . . . . . x_n पदों का औसत =

x₁ + x₂ + x₃ + . . . . . . x_n / n

औसत से सम्बंधित महत्वपूर्ण सूत्र

❆ प्रथम n संख्याओं का औसत =

( n + 1 ) / 2

❆ प्रथम n सम संख्याओं का औसत = ( n + 1 )

❆ प्रथम n विषम संख्याओं का औसत = n

❆ 1 से n तक की सम संख्याओं का औसत =

( n + 2 ) / 2

❆ 1 से n तक की विषम संख्याओं का औसत =

( n + 1 ) / 2

❆ प्रथम n संख्याओं के वर्गों का औसत =

( n + 1 ) ( 2n + 1 ) / 6

❆ दो क्रमागत पदों या संख्याओं का अन्तर समान हो , तो औसत =

पहली संख्या + अन्तिम संख्या / 2

❆ यदि n₁ परिमाणों का औसत x₁ तथा n₂ परिमाणों का औसत x₂ हो , तो कुल परिमाणों ( n₁ + n₂ ) का औसत

n₁x₁ + n₂x₂ / n₁ + n₂

होगा

❆ दो समान दूरियां दो असमान चाल से तय की गई हों , तो औसत चाल =

2 × पहली चाल × दूसरी चाल / पहली चाल + दूसरी चाल

❆ तीन समान दूरियां तीन असमान चाल से तय की गई हों , तो औसत चाल =

2 × पहली चाल × दूसरी चाल × तीसरी चाल / पहली चाल × दूसरी चाल + दूसरी चाल × तीसरी चाल + पहली चाल × तीसरी चाल

❆ यदि किसी यात्रा में भिन्न - भिन्न दूरियाँ भिन्न - भिन्न समय में तय की गई हों , तो औसत चाल =

तय की गई कुल दूरी / कुल समय

❆ यदि m संख्याओं का औसत x है तथा n संख्याओं का औसत y है , तो शेष संख्याओं का औसत

( i ) शेष संख्याओं का औसत =

mx - ny / m - n

( जहाँ m > n )

( ii ) शेष संख्याओं का औसत =

ny - mx / n - m

( जहाँ n > m )

कुछ अन्य सूत्र

N विद्यार्थियों के समूह की औसत आयु T वर्ष है , जब n विद्यार्थी और आ जाएँ , तो समूह की औसत आयु T वर्ष बढ़ जाती है , तब

❆नए विद्यार्थियों की औसत आयु = T + (

N / n

+ 1 )t

यदि औसत आयु t वर्ष घट जाती है , तब

❆नए विद्यार्थियों की औसत आयु = T - (

N / n

+ 1 )t

यदि N व्यक्तियों के एक समूह में एक T वर्ष के आदमी के स्थान पर एक नया व्यक्ति आ जाता है , जिससे औसत आयु में t वर्ष की वृद्धि होती है , तो

❆नए व्यक्ति की आयु = T + N•t

यदि नए व्यक्ति के आ जाने से t वर्ष की कमी होती है , तो

❆ नए व्यक्ति की आयु = T - N•t

यदि ( n + 1 ) संख्याओं में से प्रथम n संख्याओं का औसत Y तथा अन्तिम n संख्याओं का औसत Z हो तथा प्रथम संख्या f तथा अन्तिम संख्या l हो , तो अभीष्ट सम्बन्ध है

❆ f - l = n ( Y - Z )

t वर्ष पहले एक परिवार के N सदस्यों की औसत आयु T वर्ष थी , यदि परिवार में n बच्चों के बढ़ जाने पर भी वर्तमान औसत आयु वही रहती है , तो

❆ n बच्चों की वर्तमान आयु = n•T - N•t

औसत के गुण

यदि सभी संख्याओं में ‘a’ की वृद्धि होती है , तो उनके औसत में भी ‘a’ की वृद्धि होगी ।

यदि सभी संख्याओं में ‘a’ की कमी होती है , तो उनके औसत में भी ‘a’ की कमी होगी ।

यदि सभी संख्याओं में ‘a’ की गुणा की जाती है , तो उनके औसत में भी ‘a’ की गुणा होगी ।

यदि सभी संख्याओं को ‘a’ से भाग दिया जाता है , तो उनके औसत में भी ‘a’ से भाग होगा ।

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Also Read - अनुपात एवं समानुपात ( Ratio and Proportion )

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