सरलीकरण (Simplification)

किसी गणितीय व्यंजक को साधारण भिन्न या संख्यात्मक रूप में बदलने की प्रक्रिया ‘ सरलीकरण ’ कहलाती है । इसके अन्तर्गत गणितीय संक्रियाओं ; जैसे जोड़ , घटाव , गुणा , भाग आदि को BODMAS क्रम के आधार पर हल करते हुए दिए गए व्यंजक का मान प्राप्त किया जाता है ।

कोष्ठक चार प्रकार के होते हैं -

1 . ― → रेखा कोष्ठक ( Line Bracket )

2 . ( ) → छोटा कोष्ठक ( Simple or Small Bracket )

3 . { } → मझला कोष्ठक ( Curly Bracket )

4 . [ ] → बड़ा कोष्ठक ( Square Bracket )

इनको इसी क्रम में सरल करते हैं ।

यदि कोष्ठक के पहले ऋण चिह्न हो , तो सरल करने पर अन्दर के सभी चिह्न बदल जाते हैं ।

BODMAS का नियम

B → कोष्ठक ( Bracket ) रेखा कोष्ठक , छोटा कोष्ठक , मझला कोष्ठक , बड़ा कोष्ठक

O → का ( Of )

D → भाग ( Division )

M → गुणा ( Multiplication )

A → योग ( Addition )

S → अन्तर ( Subtraction )

उपरोक्त क्रम के अलावा व्यंजकों के सरलीकरण में विभिन्न बीजगणितीय सूत्रों का भी प्रयोग किया जाता है ।

सरलीकरण हेतु महत्वपूर्ण सर्वसमिकाएं

• उभयनिष्ट गुणक

  ❍ c(a+b) = ca + cb

• द्विपद का वर्ग

  ❍ (a+b)² = a² + 2ab + b²
  
  ❍(a-b)² = a² - 2ab + b²

• दो पदों के योग एवं अन्तर का गुणनफल (वर्गान्तर सूत्र)

  ❍ a² - b² = (a+b) (a-b)

• अन्यान्य सर्वसमिकाएँ(घनों का योग व अंतर)

  ❍ a³ - b³ = (a-b) (a² + ab + b²)
  
  ❍ a³ + b³ = (a+b) (a² - ab + b²)

• द्विपद का घन

  ❍ (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
  
  ❍ (a - b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³

• बहुपद का वर्ग

  ❍ (a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ca

• दो द्विपदों का गुणन जिनमें एक समान पद हो

  ❍ (x + a )(x + b ) = x² + (a + b )x + ab

• गाउस (Gauss) की सर्वसमिका

  ❍a³ + b³ + c³ - 3abc = (a+b+c) (a² + b² + c² - ab -bc - ca)

• लिगेन्द्र (Legendre) सर्वसमिका

  ❍ (a+b)² + (a-b)² = 2(a² + b²)
  
  ❍ (a+b)² - (a-b)² = 4ab)
  
  ❍ (a+b)⁴ - (a-b)⁴ = 8ab(a² + b²)

• लाग्रेंज (Lagrange) की सर्वसमिका

  ❍ (a² + b²)(x² + y²) = (ax + by)² + (ay - bx)²
  
  ❍ (a² + b² + c²) (x² + y² + z²) = (ax + by + cz)² + (ay - bx)² + (az - cx)² + (bz - cy )²

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